ఏదైనా ఒక సంఖ్యను మరో సంఖ్యతో భాగించకుండా ఆ సంఖ్య ఏ సంఖ్యల చేత నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుందో లేదా ఏ సంఖ్య చేత నిశ్శేషంగా భాగింపబడదో తెలుసుకోవడానికి ఉపయోగించే సూత్రాలే భాజనీయత సూత్రాలు. వీటిని తెలుసుకోవడం వలన ఇచ్చిన సంఖ్య ఫలానా సంఖ్య ద్వారా భాగిస్తుందో లేదో చూడగానే చెప్పవచ్చు. ఇప్పుడు ఈ సూత్రాలను పరిశీలిద్దాం.
‘2 ‘ భాజనీయత సూత్రం
సరిసంఖ్యలన్నీ 2 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. లేదా ఒక సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6, 8 లలో ఎదో ఒకటి ఉంటే అది 2 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. ఉదా: 7374 ఒకట్ల స్థానంలో 4 ఉంది. కాబట్టి దీనిని 2 తో భాగించవచ్చు. 5879 – ఇందులో ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6, 8 ల్లో ఏ సంఖ్యా లేదు. కాబట్టి దీనిని 2 తో భాగించలేం.
‘3 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం 3 తో భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 3 చేత నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. ఉదా: 4761. ఈ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం = 4 + 7 + 6 + 1 = 18 ని 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. కాబట్టి ‘4761’ ని 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. 5879 ఈ సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం = 5 + 8 + 7+ 9 = 29 ని 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం. కాబట్టి ఈ సంఖ్య ని 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం.
‘4 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్యలో పదుల, ఒకట్ల స్థానాలలో రెండు సున్నాలు ఉన్నా, లేదా పదుల, ఒకట్ల స్థానాలలో ఉన్న సంఖ్య 4 తో భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 4 తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. ఉదా: 87600 ఈ సంఖ్యలో చివరి రెండు స్థానాలైన పదులలో, ఒకట్లలో రెండు సున్నాలున్నాయి. కాబట్టి ఈ సంఖ్యని 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. 7936 ఈ సంఖ్యలో చివరి రెండు స్థానాలైన పదులలో, ఒకట్లలో ఉన్న సంఖ్య 36. ‘36’ ని 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. కాబట్టి 7936 ని కూడా 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. 84721 ఈ సంఖ్యలో చివరి రెండు స్థానాలైన పదులలో, ఒకట్లలో ఉన్న సంఖ్య 21. . 21 ని 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం. కాబట్టి 84721 ని కూడా 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం.
‘5 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలో 0 కానీ 5 కానీ ఉంటే ఆ సంఖ్యని 5 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. ఉదా: 47350, 63465 ఈ రెండు సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానాలలో 0, 5 లు వరుసగా ఉన్నాయి. కాబట్టి ఈ రెండు సంఖ్యలను 5 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. 64728 ఈ సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలో 0 కానీ, 5 కానీ లేదు. కాబట్టి ఈ సంఖ్యని 5 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం.
‘6 ‘ భాజనీయత సూత్రం
6 కు ప్రత్యేకంగా భాజనీయత సూత్రం లేదు. కానీ 6 ను 2×3 గా రాయొచ్చు. అంటే ఒక సంఖ్య ‘2’, ‘3’ తో భాగింపబడినట్లయితే ఆ సంఖ్యని ‘6’ తో కూడా నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. లేదా ఒక సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6, 8 లలో ఎదో ఒకటి ఉంటూ, ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ‘3’ తో భాగింపబడినట్లయితే, ఆ సంఖ్యని ‘6’ తో కూడా నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. ఉదా: 8472 – ఈ సంఖ్యలో ఒకట్ల స్ధానంలో ‘2’ ఉంది కాబట్టి ఈ సంఖ్యని ‘2’ తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. ఈ సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం = 8 + 4 + 7 + 2 = 21 ‘21’ ని ‘3’ తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. 8472 అనే సంఖ్యను 2, 3 తో భాగించవచ్చును. కాబట్టి ‘6’ తో కూడా భాగించవచ్చును.
‘7 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఇచ్చిన సంఖ్యలోని చివరి అంకెని మినహాయించి, దానిని రెట్టింపు చేసి మిగతా సంఖ్య నుంచి తీసివేయాలి. వచ్చిన ఫలితంలోనుంచి చివరి అంకెని మినహాయించి, దానిని రెట్టింపు చేసి మళ్ళీ మిగతా సంఖ్య నుంచి తీసివేయాలి. చివరి వరకు ఆ విధంగా చేసిన తరువాత మిగిలిన సంఖ్య ‘7’ తో భాగితమైతే ఆ సంఖ్య కూడా ‘7’ తో భాగితమవుతుంది. ఉదా: 488894
48889꠰4
(-) 8
———
4888꠰1
(-) 2
———-
488꠰6
(-) 12
———–
47꠰6
(-) 12
———–
35
35 చివరకు మిగిలింది. ‘35’, ‘7’ తో భాగితమౌతుంది కాబట్టి 488894 కూడా 7 తో భాగితమౌతుంది.
‘8 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్య చివరి మూడు స్ధానాలలో మూడు సున్నాలు ఉన్నా, లేదా చివరి మూడు స్ధానాలలో ఉన్న సంఖ్య ‘8’ చేత భాగించబడినా ఆ సంఖ్యని ‘8’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. ఉదా: 567000 – చివర మూడు సున్నాలు ఉన్నాయి కాబట్టి ఈ సంఖ్యని ‘8’ తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. మరొక ఉదా: 46752 – చివరి మూడు స్ధానాలలో ఉన్న సంఖ్యని ‘8’ తో భాగించవచ్చును. కాబట్టి ఈ సంఖ్యని కూడా ‘8’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును.
‘9 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ‘9’ చేత భాగించబడినట్లయితే, ఆ సంఖ్యని కూడా ‘9’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. ఉదా: 421758 – ఈ సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం = 4 + 2 + 1 + 7 + 5 + 8 = 27. ’27’ ని ‘9’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. కాబట్టి ఈ సంఖ్యను కూడా ‘9’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును.
’10 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్ధానంలో అంకెల ‘0’ ఉన్నప్పుడు మాత్రమే, ఆ సంఖ్యని కూడా ’10’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. ఉదా: 4320 – ఈ సంఖ్యలో ఒకట్ల స్ధానంలో ‘0’ ఉంది కాబట్టి ఈ సంఖ్యను కూడా ’10’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును.
’11 ‘ భాజనీయత సూత్రం
సంఖ్యలోని సరి స్ధానాల మొత్తం, బేసి స్ధానాల మొత్తాల వ్యత్యాసం సున్నా లేదా 11 గుణిజం అయితే ఆ సంఖ్య 11 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది. ఉదా: 2 7 0 9 5 2
2 + 0 + 5 = 7
7 + 9 + 2 = 18
18 – 7 = 11
వీటి వ్యత్యాసం 11
11 గుణిజం కాబట్టి 270952 11 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది.
ఏదైనా ఒక సంఖ్యను మరో సంఖ్యతో భాగించకుండా ఆ సంఖ్య ఏ సంఖ్యల చేత నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుందో లేదా ఏ సంఖ్య చేత నిశ్శేషంగా భాగింపబడదో తెలుసుకోవడానికి ఉపయోగించే సూత్రాలే భాజనీయత సూత్రాలు. వీటిని తెలుసుకోవడం వలన ఇచ్చిన సంఖ్య ఫలానా సంఖ్య ద్వారా భాగిస్తుందో లేదో చూడగానే చెప్పవచ్చు. ఇప్పుడు ఈ సూత్రాలను పరిశీలిద్దాం.
‘2 ‘ భాజనీయత సూత్రం
సరిసంఖ్యలన్నీ 2 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. లేదా ఒక సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6, 8 లలో ఎదో ఒకటి ఉంటే అది 2 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. ఉదా: 7374 ఒకట్ల స్థానంలో 4 ఉంది. కాబట్టి దీనిని 2 తో భాగించవచ్చు. 5879 – ఇందులో ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6, 8 ల్లో ఏ సంఖ్యా లేదు. కాబట్టి దీనిని 2 తో భాగించలేం.
‘3 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం 3 తో భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 3 చేత నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. ఉదా: 4761. ఈ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం = 4 + 7 + 6 + 1 = 18 ని 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. కాబట్టి ‘4761’ ని 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. 5879 ఈ సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం = 5 + 8 + 7+ 9 = 29 ని 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం. కాబట్టి ఈ సంఖ్య ని 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం.
‘4 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్యలో పదుల, ఒకట్ల స్థానాలలో రెండు సున్నాలు ఉన్నా, లేదా పదుల, ఒకట్ల స్థానాలలో ఉన్న సంఖ్య 4 తో భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 4 తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. ఉదా: 87600 ఈ సంఖ్యలో చివరి రెండు స్థానాలైన పదులలో, ఒకట్లలో రెండు సున్నాలున్నాయి. కాబట్టి ఈ సంఖ్యని 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. 7936 ఈ సంఖ్యలో చివరి రెండు స్థానాలైన పదులలో, ఒకట్లలో ఉన్న సంఖ్య 36. ‘36’ ని 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. కాబట్టి 7936 ని కూడా 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. 84721 ఈ సంఖ్యలో చివరి రెండు స్థానాలైన పదులలో, ఒకట్లలో ఉన్న సంఖ్య 21. . 21 ని 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం. కాబట్టి 84721 ని కూడా 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం.
‘5 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలో 0 కానీ 5 కానీ ఉంటే ఆ సంఖ్యని 5 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. ఉదా: 47350, 63465 ఈ రెండు సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానాలలో 0, 5 లు వరుసగా ఉన్నాయి. కాబట్టి ఈ రెండు సంఖ్యలను 5 తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. 64728 ఈ సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలో 0 కానీ, 5 కానీ లేదు. కాబట్టి ఈ సంఖ్యని 5 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం.
‘6 ‘ భాజనీయత సూత్రం
6 కు ప్రత్యేకంగా భాజనీయత సూత్రం లేదు. కానీ 6 ను 2×3 గా రాయొచ్చు. అంటే ఒక సంఖ్య ‘2’, ‘3’ తో భాగింపబడినట్లయితే ఆ సంఖ్యని ‘6’ తో కూడా నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు. లేదా ఒక సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6, 8 లలో ఎదో ఒకటి ఉంటూ, ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ‘3’ తో భాగింపబడినట్లయితే, ఆ సంఖ్యని ‘6’ తో కూడా నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. ఉదా: 8472 – ఈ సంఖ్యలో ఒకట్ల స్ధానంలో ‘2’ ఉంది కాబట్టి ఈ సంఖ్యని ‘2’ తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. ఈ సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం = 8 + 4 + 7 + 2 = 21 ‘21’ ని ‘3’ తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. 8472 అనే సంఖ్యను 2, 3 తో భాగించవచ్చును. కాబట్టి ‘6’ తో కూడా భాగించవచ్చును.
‘7 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఇచ్చిన సంఖ్యలోని చివరి అంకెని మినహాయించి, దానిని రెట్టింపు చేసి మిగతా సంఖ్య నుంచి తీసివేయాలి. వచ్చిన ఫలితంలోనుంచి చివరి అంకెని మినహాయించి, దానిని రెట్టింపు చేసి మళ్ళీ మిగతా సంఖ్య నుంచి తీసివేయాలి. చివరి వరకు ఆ విధంగా చేసిన తరువాత మిగిలిన సంఖ్య ‘7’ తో భాగితమైతే ఆ సంఖ్య కూడా ‘7’ తో భాగితమవుతుంది. ఉదా: 488894
48889꠰4
(-) 8
———
4888꠰1
(-) 2
———-
488꠰6
(-) 12
———–
47꠰6
(-) 12
———–
35
35 చివరకు మిగిలింది. ‘35’, ‘7’ తో భాగితమౌతుంది కాబట్టి 488894 కూడా 7 తో భాగితమౌతుంది.
‘8 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్య చివరి మూడు స్ధానాలలో మూడు సున్నాలు ఉన్నా, లేదా చివరి మూడు స్ధానాలలో ఉన్న సంఖ్య ‘8’ చేత భాగించబడినా ఆ సంఖ్యని ‘8’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. ఉదా: 567000 – చివర మూడు సున్నాలు ఉన్నాయి కాబట్టి ఈ సంఖ్యని ‘8’ తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. మరొక ఉదా: 46752 – చివరి మూడు స్ధానాలలో ఉన్న సంఖ్యని ‘8’ తో భాగించవచ్చును. కాబట్టి ఈ సంఖ్యని కూడా ‘8’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును.
‘9 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం ‘9’ చేత భాగించబడినట్లయితే, ఆ సంఖ్యని కూడా ‘9’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. ఉదా: 421758 – ఈ సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం = 4 + 2 + 1 + 7 + 5 + 8 = 27. ’27’ ని ‘9’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. కాబట్టి ఈ సంఖ్యను కూడా ‘9’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును.
’10 ‘ భాజనీయత సూత్రం
ఒక సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్ధానంలో అంకెల ‘0’ ఉన్నప్పుడు మాత్రమే, ఆ సంఖ్యని కూడా ’10’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును. ఉదా: 4320 – ఈ సంఖ్యలో ఒకట్ల స్ధానంలో ‘0’ ఉంది కాబట్టి ఈ సంఖ్యను కూడా ’10’ చేత నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చును.
’11 ‘ భాజనీయత సూత్రం
సంఖ్యలోని సరి స్ధానాల మొత్తం, బేసి స్ధానాల మొత్తాల వ్యత్యాసం సున్నా లేదా 11 గుణిజం అయితే ఆ సంఖ్య 11 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది. ఉదా: 2 7 0 9 5 2
2 + 0 + 5 = 7
7 + 9 + 2 = 18
18 – 7 = 11
వీటి వ్యత్యాసం 11
11 గుణిజం కాబట్టి 270952 11 తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది.