అంకె లేదా సంఖ్య (number) అనేది లెక్కించడానికీ, కొలవడానికీ ఉపయోగించే ఒక అంశం. భౌతికంగా అంకెలు అనేవి ప్రకృతిలో లేవు. ఇవి మానవుల మనసులో ఏర్పడిన విషయాలు. ప్రతి సంఖ్యకూ ఒక గుర్తును వాడుతారు. మానవజాతి నాగరికత, విజ్ఞానం ప్రగతికి మౌలికమైన అంశాలలో అంకెలు, వాటి గుర్తులు చాలా ప్రముఖ పాత్ర వహిస్తున్నాయి. అంకెలు, వాటి సంబంధాలనూ విస్తృతపరచే విజ్ఞానాన్ని గణితం లేదా గణిత శాస్త్రం అంటారు.
సంఖ్యలలో రకాలు
సంఖ్యలలో 3 రకాలు ఉన్నాయి. 1) సహజ సంఖ్యలు, 2) పూర్ణ సంఖ్యలు, 3) పూర్ణాంకాలు,
- సహజ సంఖ్యలు (Natural Numbers):- లెక్కించటానికి వాడే 1, 2, 3, వగైరాలని సహజ సంఖ్యలు (natural numbers) అంటారు. సహజ సంఖ్యల సమితిని {N} తో సూచిస్తాం. సున్నా సహజ సంఖ్య కాదు. కనిష్ఠ సహజ సంఖ్య. N = (1, 2, 3 ….)
- పూర్ణ సంఖ్యలు (Integers):- సహజ సంఖ్యలు, సున్న, రుణ సహజ సంఖ్యలు – ఈ మూడింటిని కలిపి పూర్ణ సంఖ్యలు (integers) అంటారు. పూర్ణ సంఖ్యల సమితిని {Z} తో సూచిస్తాం. Z = (….-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ….)
- పూర్ణాంకాలు (Whole Numbers):- సహజ సంఖ్యలు, సున్న కలిపి పూర్ణాంకాలు (Whole numbers) అంటారు. పూర్ణాంకాల సమితిని {W} }తో సూచిస్తాం. W = (0, 1, 2, 3 ….)
ప్రధాన సంఖ్యలు
ఏదైనా ఒక సంఖ్యకు 1, అదే సంఖ్య తప్ప ఇతర కారణాంకాలు లేకుంటే వాటిని ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు. ‘1’ ప్రధాన సంఖ్య కాదు. ‘2’ మొదటి ప్రధాన సంఖ్య. సరిసంఖ్య అయినా ఏకైక ప్రధాన సంఖ్య ‘2’.
100 లోపు 25 ప్రధాన సంఖ్యలు, 100 కు 200 కు మధ్య 20 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
100 లోపు కల ప్రధాన సంఖ్యలు: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
సరి సంఖ్యలు
2 తో నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్యలను సరిసంఖ్యలు అంటారు. లేదా ఏదైనా ఒక సంఖ్యలో ఒకట్ల స్ధానంలో 0, 2, 4, 6, 8 లలో ఏదో ఒకటి ఉంటే అది సరిసంఖ్య అవుతుంది. ఉదా: 2, 4, 6, 8, 10, 12.
బేసి సంఖ్యలు
2 తో నిశ్శేషంగా భాగించలేని సంఖ్యలను బేసి సంఖ్యలు అంటారు. లేదా ఏదైనా ఒక సంఖ్యలో ఒకట్ల స్ధానంలో 1, 3, 5, 7, 9 లలో ఏదో ఒకటి ఉంటే అది బేసి సంఖ్య అవుతుంది. ఉదా: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
వర్గ సంఖ్యలు
ఏదైనా ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో గుణిస్తే వచ్చే లబ్దాన్ని వర్గ సంఖ్య అంటారు.
1² – 1 2² – 4 3² – 9
4² – 16 5² – 25 6² – 36
7² – 49 8² – 64 9² – 81
10² – 100 11² – 121 12² – 144
13² – 169 14² – 196 15² – 225
16² – 256 17² – 289 18² – 324
19² – 361 20² – 400 21² – 441
22² – 484 23² – 529 24² – 576
25² – 625 26² – 676 27² – 729
28² – 784 29² – 841 30² – 900
31² – 961 32² – 1024 33² – 1089
34² – 1156 35² – 1225 36² – 1296
ఘన సంఖ్యలు
1 నుంచి 11 వరకు ఘన సంఖ్యలు నేర్చుకుంటే అవి సిరీస్, ఎనాలజీ, క్లాసిఫికేషన్స్ లో ఉపయోగపడతాయి.
1³ – 1 2³ – 8 3³ – 9
4³ – 64 5³ – 125 6³ – 216
7³ – 346 8³ – 512 9³ – 729
10³ – 1000 11³ – 1331
పైన చెప్పుకున్న ప్రాధమిక అంశాలతో పాటు చిన్న చిన్న కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగహారాలు వేగంగా చేయగలిగితే నంబర్ సిరీస్ ను సులభంగా చేయవచ్చు. నంబర్ సిరీస్ లో సంఖ్యలు స్వల్పంగా పెరుగుతున్నట్లయితే అందులో సంకలన సంబంధం; సంఖ్యలు వేగంగా పెరుగుతున్నట్లయితే అందులో గుణకారం సంబంధం; సంఖ్యలు స్వల్పంగా తగ్గుతున్నట్లయితే అందులో భాగాహార సంబంధం ఉందని గుర్తించాలి.
1) నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరగడం, వ్యత్యాసం స్ధిరంగా ఉండడం:
నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరుగుతుంది. అందులో ఏ రెండు సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం అయినా సమానంగా ఉంటుంది. ఆ స్ధిర వ్యత్యాసాన్ని గుర్తించి చివరి సంఖ్యకు కలిపితే మనకు కావాల్సిన సమాధానం వస్తుంది.
ఉదాహరణలు:
- 1, 3, 7, 11, 15, 19, 23 ….
ఇందులో నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరిగింది. వ్యత్యాసం స్ధిరంగా ఉంది. ఏ రెండు సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం చూసినా ‘4’ కు సమానం అయింది. కాబట్టి చివరి సంఖ్య ‘23’ కు ‘4’ కలపాలి.
23 +4 = 27 ؞ 27 సమాధానం అవుతుంది.
- 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48 ….
ఇందులో నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరిగింది. వ్యత్యాసం స్ధిరంగా ఉంది. ఏ రెండు సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం చూసినా ‘7’ కు సమానం అయింది. కాబట్టి చివరి సంఖ్య ‘48’ కు ‘7’ కలపాలి.
48 + 7 = 55 ؞ 55 సమాధానం అవుతుంది.
- 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34 ….
ఇందులో నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరిగింది. వ్యత్యాసం స్ధిరంగా ఉంది. ఏ రెండు సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం చూసినా ‘3’ కు సమానం అయింది. కాబట్టి చివరి సంఖ్య ‘34’ కు ‘3’ కలపాలి.
34 + 3 = 37 ؞ 37 సమాధానం అవుతుంది.
- 49, 55, 61, 67, 73 ….
ఇందులో నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరిగింది. వ్యత్యాసం స్ధిరంగా ఉంది. ఏ రెండు సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం చూసినా ‘6’ కు సమానం అయింది. కాబట్టి చివరి సంఖ్య ‘73’ కు ‘6’ కలపాలి.
73 + 6 = 79 ؞ సమాధానం అవుతుంది.
2) నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరగడం, వ్యత్యాసం క్రమంగా పెరగడం
ఇందులో నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరుగుతుంది. దీనితో పాటు వ్యత్యాసం కూడా క్రమంగా పెరుగుతుంది. ఈ వ్యత్యాసం ఏ విధంగా, ఏ స్ధాయిలో పెరుగుతోందో తెలుసుకుని ఆ తర్వాత సంఖ్యను చివరి సంఖ్యకు కలపాలి.
ఉదాహరణలు:
- 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23 ….
ఇందులో సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం క్రమంగా 1, 2, 3, 4, 5, 6 చొప్పున పెరిగింది. తర్వాత ‘7’ పెరగాలి. కాబట్టి చివరి సంఖ్య ‘23’ కు ‘7’ కలపాలి.
23 + 7 = 30 ؞ 30 సమాధానం అవుతుంది.
- 5, 7, 11, 17, 25, 35, 47 ….
ఇందులో సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం క్రమంగా 2, 4, 6, 8, 10, 12 చొప్పున పెరిగింది. తర్వాత ‘14’ పెరగాలి. కాబట్టి చివరి సంఖ్య ‘47’ కు ‘14’ కలపాలి.
47 + 14 = 61 ؞ 61 సమాధానం అవుతుంది.
- 9, 13, 21, 33, 49 ….
ఇందులో సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం క్రమంగా 4, 8, 12,16 చొప్పున పెరిగింది. ఇవి ‘4’ గుణిజాలు. తర్వాత ‘20’ పెరగాలి. కాబట్టి చివరి సంఖ్య ‘49’ కు ‘20’ కలపాలి.
49 + 20 = 69 ؞ 69 సమాధానం అవుతుంది.
- 4, 6, 9, 14, 21 ….
ఇందులో సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం క్రమంగా 2, 3, 5, 7 చొప్పున పెరిగింది. ఇవి బేసి సంఖ్యల సిరీస్ అని పొరపడతారు. కానీ ఇవి ప్రధాన సంఖ్యలు. కాబట్టి తర్వాత ‘11’ పెరగాలి. కాబట్టి చివరి సంఖ్య ‘21’ కు ‘11’ కలపాలి.
21 + 11 = 32 ؞ 32 సమాధానం అవుతుంది.
3) నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరగడం, వ్యత్యాసం క్రమంగా తగ్గడం
ఇందులో నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరుగుతుంది. కానీ వాటి మధ్య వ్యత్యాసం క్రమంగా తగ్గుతుంది. ఈ వ్యత్యాసం ఏ విధంగా, ఏ స్ధాయిలో తగ్గుతోందో తెలుసుకుని, ఆ తర్వాత సంఖ్యను చివరి సంఖ్యకు కలపాలి.
ఉదాహరణలు:
- 12, 22, 30, 36, 40 ….
ఇందులో నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరిగింది. కానీ వాటి మధ్య వ్యత్యాసం క్రమంగా 10, 8, 6, 4 చొప్పున తగ్గింది. ఆ తర్వాత ‘2’ రావాలి. కాబట్టి చివరి సంఖ్యకి ‘2’ కలపాలి.
40 + 2 = 42 ؞ 42 సమాధానం అవుతుంది.
- 16, 41, 61, 76, 86 ….
ఇందులో నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరిగింది. కానీ వాటి మధ్య వ్యత్యాసం క్రమంగా 25, 20, 15, 10 చొప్పున తగ్గింది. ఆ తర్వాత ‘5’ రావాలి. కాబట్టి చివరి సంఖ్యకి ‘5’ కలపాలి.
86 + 5 = 91 ؞ 91 సమాధానం అవుతుంది.
- 12, 23, 30, 35, 38 ….
ఇందులో నంబర్ సిరీస్ క్రమంగా పెరిగింది. కానీ వాటి మధ్య వ్యత్యాసం క్రమంగా 11, 7, 5, 3 చొప్పున తగ్గింది. ఇవి ప్రధాన సంఖ్యలు. ‘3’ కన్నా చిన్న ప్రధాన సంఖ్య’2’. కాబట్టి చివరి సంఖ్యకి ‘2’ కలపాలి.
38 + 2 = 40 ؞ 40 సమాధానం అవుతుంది.
సిరీస్ క్రమంగా తగ్గడం, వ్యత్యాసం స్ధిరంగా ఉండడం
1) 93, 89, 85, 81, 77
ఈ సిరీస్ ఒక స్ధిర సంఖ్య ‘4’ చొప్పున తగ్గుతోంది. అంటే తరువాతి సంఖ్యలు కూడా క్రమంగా ‘4’ చొప్పున తగ్గాలి.
77 – 4 = 73 ; ؞ సమాధానం: 73
2) 42, 39, 36, 33, 30
ఈ సిరీస్ ఒక స్ధిర సంఖ్య ‘3’ చొప్పున తగ్గుతోంది. అంటే తరువాతి సంఖ్యలు కూడా క్రమంగా ‘3’ చొప్పున తగ్గాలి.
30 – 3 = 27 ; ؞ సమాధానం: 27
సిరీస్ క్రమంగా తగ్గడం, వ్యత్యాసం క్రమంగా పెరగడం
3) 99, 98, 96, 93, 89, 84
ఈ సిరీస్ క్రమంగా తగ్గుతుంది. కానీ వ్యత్యాసం క్రమంగా 1, 2, 3, 4, 5 చొప్పున పెరిగింది. అంటే తర్వాతి సంఖ్య తెలుసుకోవాలంటే ‘84’ నుంచి ‘6’ తీసివేయాలి.
84 -6 = 78 ; ؞ సమాధానం: 78
4) 111, 109, 106, 101, 94
ఈ సిరీస్ క్రమంగా తగ్గుతుంది. కానీ వ్యత్యాసం క్రమంగా 2, 3, 5, 7 చొప్పున పెరిగింది. 2, 3, 5, 7 అనేవి ప్రధాన సంఖ్యలు. 11 తర్వాత ప్రధాన సంఖ్య కాబట్టి 94 నుంచి 11 ను తీసివేస్తే సరైన సమాధానం వస్తుంది.
94 – 11 = 83 ؞ సమాధానం: 83
సిరీస్ వ్యత్యాసం క్రమంగా తగ్గడం
5) 77, 67, 59, 53, 49
సిరీస్ క్రమంగా తగ్గుతోంది. వ్యత్యాసం కూడా క్రమంగా 10, 8, 6, 4 చొప్పున తగ్గుతోంది. కాబట్టి తరువాత ‘2’ తగ్గాలి.
49 – 2 = 47 ؞ సమాధానం: 47
6) 49, 40, 33, 28, 25
సిరీస్ క్రమంగా తగ్గింది. వ్యత్యాసం కూడా క్రమంగా 9, 7, 5, 3 చొప్పున తగ్గాయి. తర్వాత ‘1’ తగ్గాలి.
25 – 1 = 24 ؞ సమాధానం: 24
సిరీస్ గుణకారం సంబంధంతో పెరగడం
7) 2, 4, 12, 48, 240
ఈ సిరీస్ లో ప్రతి సంఖ్య దాని ముందు సంఖ్యతో క్రమంగా పెరుగుతూ ఉన్న సంబంధాన్ని కలిగి ఉంది. ఈ సిరీస్ లో సమాధానాన్ని రాబట్టాలంటే సమాధాన సంఖ్య స్ధానంతో ముందు సంఖ్యను గుణించాలి. ఇక్కడ సమాధాన సంఖ్య స్ధానం ‘6’ . దాని ముందు సంఖ్య 240. ఈ రెండింటిని గుణిస్తే వచ్చే సంఖ్యే సమాధానం.
240 X 6 = 1440 ؞ సిరీస్ లో తర్వాత వచ్చే సంఖ్య: 1440
8) 2, 3, 8, 27, 112, 565
ఈ సిరీస్ లో కూడా గుణకారం సంబంధం ఉందని తెలుస్తోంది. కానీ మొదటి సంఖ్య ‘2’ను ‘1’ తో కానీ ‘2’ తో కానీ గుణించినప్పటికీ దాని పక్కనున్న’3’ తో సరిపోవడం లేదు. ఈ సిరీస్ గుణాకారంతో పాటు సంకలన (కూడిక) సంబంధం కూడా ఉంది. పై సిరీస్ ను కింది విధంగా విశ్లేషించ వచ్చు.
2 X 1 + 1 = 3
3 X 2 + 2 = 8
8 X 3 + 3 = 27
27 X 4 + 4 = 112
112 X 5 + 5 = 565
అంటే ప్రతి సంఖ్యను వరుసగా 1, 2, 3, 4, 5 లచే గుణించి అదే సంఖ్యను కలపడం వలన తర్వాత సంఖ్య వస్తుంది. ఆ ప్రకారంగా ‘565; ను ‘6’ తో గుణించి ‘6’ కలపాలి.
565 X 6 + 6 = 3396 ؞ సిరీస్ లో తర్వాత వచ్చే సంఖ్య: 3396
ఆల్టర్నేటివ్ సిరీస్
9) 2, 3, 4, 6, 6, 9, 8, 12, 10, 15
ఇందులో రెండు సిరీస్ లు మిళితమై ఉన్నాయి. ఆ రెండింటిని పరిశీలిస్తే
i) 2, 4, 6, 8, 10
ii) 3, 6, 9, 12, 15
సమస్యలో ‘15’ తర్వాత మొదటి సిరీస్ లోని సంఖ్య రావాలి. మొదటి సిరీస్ లో 2, 4, 6, 8, 10 తర్వాత రావలసిన సంఖ్య 12 ؞ సమాధానం:12
10) 4, 7, 6, 10, 8, 13, 10, 16
పై సిరీస్ లో రెండు సిరీస్ లలోని సంఖ్యలు ఒకదాని తర్వాత ఒకటి వచ్చాయి.
i) 4, 6, 8, 10
ii) 7, 10, 13, 16
సమస్యలో ‘16’ తర్వాత మొదటి సిరీస్ లోని సంఖ్య రావాలి. మొదటి సిరీస్ లో 4, 6, 8, 10 తర్వాత రావలసిన సంఖ్య 12 ؞ సమాధానం:12
11) 20, 22, 22, 20, 24, 18, 26
పై సిరీస్ లో రెండు సిరీస్ లలోని సంఖ్యలు ఒకదాని తర్వాత ఒకటి వచ్చాయి.
i) 20, 22, 24, 26
ii) 22, 20, 18
సమస్యలో ‘26’ తర్వాత రెండో సిరీస్ లోని సంఖ్య రావాలి. మొదటి సిరీస్ లో 22, 20, 18 తర్వాత రావలసిన సంఖ్య 16 ؞ సమాధానం:16
గ్రూప్ సిరీస్
12) 6, 8, 14, 7, 10, 17, 8, 13
పై సిరీస్ లో ప్రతి మూడు నంబర్లు ఒక గ్రూప్ గా ఉన్నాయి. ప్రతి మూడో సంఖ్య దాని ముందు రెండు సంఖ్యల మొత్తానికి సమానం.
6 + 8 = 14
7 + 10 = 17
అదే విధంగా 8 + 13 = 21 ؞ సమాధానం:21
13) 20, 10, 200, 10, 5, 50, 5, 6
పై సిరీస్ లో ప్రతి మూడు నంబర్లు ఒక గ్రూప్ గా ఉన్నాయి. ప్రతి మూడో సంఖ్య దాని ముందు రెండు సంఖ్యల లబ్దానికి సమానం.
20 X 10 = 200
10 X 5 = 50
అదే విధంగా 5 X 6 = 30 ؞ సమాధానం:30
కొన్ని సంఖ్యలు మినహా
14) 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
ఈ సిరీస్ లో మొదటి రెండు సంఖ్యలు మినహా మిగతా సంఖ్యలన్నీ దానికంటే ముందున్న రెండు సంఖ్యల మొత్తానికి సమానం.
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
13 + 21 = 34
అదే విధంగా 21 + 34 = 55 ؞ సమాధానం: 55
15) 1, 2, 2, 4, 8, 32
పై సిరీస్ లో మొదటి రెండు సంఖ్యలు మినహా మిగతా సంఖ్యలు దానికంటే ముందున్న రెండు సంఖ్యలను గుణించడం వలన వస్తున్నాయి.
1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
2 x 4 = 8
4 x 8 = 32
అదే విధంగా 8 x 32 = 256 ؞ సమాధానం: 256
చిట్కా
ఏ సంఖ్యనైనా 5 చేత గుణించాలంటే, ఆ సంఖ్య చివర ఒక సున్నా ఉన్నట్లు ఊహించుకుని, ఆ సంఖ్యను 2 చేత భాగించాలి. వచ్చే భాగఫలమే వాటి లబ్దం అవుతుంది.
ఉదాహరణ
5637 x 5 చేయాలంటే 5637 చివర సున్నా ఉందనుకుని దానిని 2 చేత భాగించాలి.
56370/2= 28185
؞ 5637 x 5 = 28185