గణిత శాస్త్రం, లేక గణితం (గ్రీకు భాష యందు “జ్ఞానం, అధ్యయనం, నేర్చుకొను”) అనగా పరిమాణములు, సంఖ్యలు, నిర్మాణములు, స్థలాలు, మార్పుల యొక్క నైరూప్య అధ్యయనము. దానికి సాధారణంగా అంగీకరింపబడిన నిర్వచనము లేదు. గణిత శాస్త్రవేత్తలు క్రమాలను అన్వేషించి, వాటితో కొత్త ప్రతిపాదనలను రూపొందించుతారు. వారు ఆ ప్రతిపాదన యొక్క సత్యాన్ని లేక అసత్యాన్ని గణితశాస్త్ర ఆధారాలతో నిర్ధారిస్థారు. ఎప్పుడైతే గణిత నిర్మాణములు వాస్తవానికి మంచి నమూనాలు అవుతాయో, అప్పుడు గణిత తార్కికం ప్రకృతి యొక్క అంతర్దృష్టి లేక అంచనాలు అందించగలుతాయి. నైరూప్యత, తర్కం యొక్క వాడుకతో గణిత శాస్త్రం లెక్కించుట, గణనము, కొలత,, భౌతిక వస్తువుల యొక్క ఆకారకదలికల క్రమబద్ధమైన అధ్యాయనము నుంచి అభివృద్ధి చెందినది. ఆచరణాత్మక గణితము లిఖిత రుజువులు ఉన్నప్పట్టి నుంచి మానవ కార్యకలాపముగా ఉనికిలో ఉంది. కొన్ని కఠిన గణిత సమస్యలు పరిష్కరించడానికి కావల్సిన పరిశోధన కోసము సంవత్సరాలు లేక శతాబ్దాలు కుడా పట్టువదలని విచారణ అవసరం అవుతుంది.
గణిత శాస్త్రం అనేక రంగాలలో ముఖ్యమైనది, అందులో ప్రకృతి శాస్త్రాలు, ఇంజనీరింగు, వైద్యము, ఆర్థిక-ద్రవ్య శాస్త్రలు, సామాజిక శాస్త్రాలు. అనువర్తిత గణిత శాస్త్రం[అప్ప్లైడ్ మ్యాథెమాటిక్స్] సరికొత్త గణిత విభాగాలకి దారి తీసింది, అందులో గణాంకాలు[స్టాటిస్టిక్స్], ఆట సిద్దాంతము[గేం థియరి] లంటివి ఉన్నాయి. గణిత శాస్త్రవేత్తలు స్వచ్ఛ గణితముతో[ప్యూర్ మ్యాథెమాటిక్స్] కుడా పని చేస్తారు, అందులో గణితాన్ని దాని కోసం చెయ్యడము తప్ప వేరే అనువర్తిత[ప్రాక్టికాలిటి] ఆలోచన ఉండదు. అనువర్తిత గణితానికి, స్వచ్ఛ గణితానికి నిశ్చితమైన విశదీకరణము లేదు. తరచూ స్వచ్ఛ గణితానికి ఆచరణాత్మక ఉపయోగాలు కనుగొనబడతాయి.
గణితము వేద కాలము నుండి భారతీయ సంప్రదాయములో భాగమేనని మన వేద గణితము ద్వారా మనకు తెలియు చున్నది. గణితము ప్రాచీన భారతదేశముతో పాటు ప్రాచీన ఈజిప్టు, మెసపుటేమియా, ప్రాచీన చైనా, ప్రాచీన గ్రీకు నాగరికతలలో ఎక్కువగా అభివృద్ధి చెందినది. ప్రపంచ వ్యాప్తముగా గణితము అభివృద్ధిలో భారతీయుల పాత్ర ఎంతో ఉంది. సంఖ్యామానానికి పట్టుకొమ్మ అయిన సున్నా భారతీయుల ఆవిష్కరణే. గణితము వివిధ భాగములుగా అభివృద్ధి చెందుతున్నది.
- బీజ గణితము (Algebra)
- రేఖా గణితము లేదా క్షేత్ర గణితము (Geometry)
- త్రికోణమితి (Trigonometry)
- కలన గణితము (Calculus)
- సాంఖ్యక శాస్త్రము (Statistics)
- సంభావ్యత (Probability)
బీజ గణితము(Algebra)
బీజ గణితములో వివిధ భాగములున్నవి: సమితులు, ప్రమేయములు, అనుక్రమాలు, శ్రేణులు, సంభావ్యత, అవధులు, ప్రస్తారాలు, సంయోగాలు మొదలైనవి.
సమితులు:- సమితి అనగా ఒక గణితశాస్త్ర భావన. ఏదైనా కొన్ని వస్తువుల సముదాయాన్ని సమితి అని నిర్వచించవచ్చు. ఇది వినడానికి చాలా చిన్నదిగా అనిపించినా గణిత శాస్త్రంలో ఇది ఒక అతి ముఖ్యమైన భావన. 19వ శతాబ్దం చివరిలో దీనిని కనుగొనడం వలన గణిత విద్యలో దీని ప్రాధాన్యం చాలా ఉంది. చాలా దేశాల్లోని ప్రాథమిక విద్యలో ఇది ఒక భాగము. వివిధ రకాలైన వేర్వేరు వస్తువుల సముదాయాన్ని సమితి అనవచ్చు. సునిర్వచిత మూలకముల సముదాయాము. సమితులను కనిపెట్టిన శాస్త్రవేత్త జార్జి కాంటర్ సమితిని ఈ విధంగా నిర్వచించాడు. సాధారణంగా సమితులను A, B, X మొదలగు పెద్ద అక్షరములతో సూచింతురు. సమితిలోని మూలకములను సూచించుటకు x, y మొదలగు చిన్న అక్షరములను వాడుదము. A = {x, y, z}లో A సమితి సూచించు సంకెతము, x, y, zలు ఆ సమితి లోని మూలకములు.
సార్వత్రికసమితులు
సహజ సంఖ్యలు N = {1, 2, 3, 4, …..}
పూర్ణాంకలు W = {0, 1, 2, 3, …}
పూర్ణ సంఖ్యల సమితి Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …..}
అకరణీయ సంఖ్యల సమితి Q = {p/q: p, q ∈ Z, q ≠ 0 }
కరణీయ సంఖ్యల సమితి I
వాస్తవ సంఖ్యలు R
సంకీర్ణ సంఖ్యలు C
ఉప సమితులు:- ఒక సమితి A లోని ప్రతి మూలకమూ B అనే సమితికీ చెందినట్లయితే సమితి A ని B కి ఉపసమితి అంటారు. దీన్ని (A సమితి B సమితిలో ఉంది అని కూడా అనవచ్చు) అని రాస్తారు.
ప్రత్యేక సమితులు
సార్వత్రిక సమితి:- అన్ని మూలకాలు కలిగిన సమితి
ఏక మూలక సమితి:- ఒకే ఒక మూలకం కలిగిన సమితి
శూన్య సమితి:- అసలు మూలాకాలే లేని సమితి. శూన్య సమితిని Φతో సూచించెదము
రేఖా గణితము లేదా క్షేత్ర గణితము (Geometry)
రేఖాగణితం (Geometry) గణిత శాస్త్రములో ఒక విభాగము. ఇది ఒక వస్తువు యొక్క స్థితి గురించి, ఆకారము గురించి, పరిమాణం గురించిన ప్రశ్నలకు సంబంధించినది . ఇది ఒక పురాతనమైన శాస్త్రవిభాగం. ముందుగా పొడవు, వెడల్పు, వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం మొదలగు వాటిని కనుగొనడం లాంటి ప్రయోగ పూర్వక జ్ఞానాన్ని గురించి వివరించిన ఈ శాస్త్రం, యూక్లిడ్ రాకతో సైద్ధాంతిక రూపాన్ని సంతరించుకుంది. ఆయన రూపొందించిన యూక్లిడియన్ జ్యామితి కొన్ని శతాబ్దాల నుంచీ ప్రమాణంగా నిలిచింది. ఖగోళ శాస్త్రానికి సంబంధించిన సమస్యలైన విశ్వాంతరాళంలో గ్రహాల, నక్షత్రాల స్థానాలు మొదలైనవి అనేక జ్యామితీయ సమస్యలకు ఆధారభూతంగా నిలిచాయి.
నిరూపక రేఖా గణితం
వైశ్లేషిక రేఖాగణితం లేదా నిరూపక రేఖాగణితంని ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రవేత్త అయిన రెనెడెకార్టె (1596-1650) కనుక్కున్నాడు. ప్రత్యేక క్రమంలో అమర్చిన మూలకాల జత (a, b) ను ఒక క్రమయుగ్మం అంటారు. క్రమయుగ్మం (a, b) లో a ని ప్రథమ నిరూపకమనీ, b ని ద్వితీయ నిరూపకం అంటారు. ఒక తలంలోని ప్రతి బిందువును ఒక క్రమయుగ్మంతోనూ, విపర్యయంగా ఒక క్రమయుగ్మాన్ని ఒక బిందువుతోనూ సూచిస్తారు. ఒక తలాన్ని రెండు లంబరేఖలతో నాలుగు పాదాలుగా విభజించి అందులో బిందువులను వాస్తవ సంఖ్యా క్రమ యుగ్మాలతో సూచిస్తారు.
త్రికోణమితి (Trigonometry)
త్రికోణమితి (Trigonometry) ఒక త్రిభుజంలోని భుజాలు, కోణాల మధ్య గల సంబంధాలను అధ్యయనం చేసే గణితశాస్త్రవిభాగం. ఆంగ్లంలో దీనిని “ట్రిగొనోమెట్రీ” అంటారు. ఇది “యూక్లీడియన్ జ్యామెట్రీ” అనే శాస్త్రంలో ఒక భాగం.
గణితశాస్త్రంలో రేఖాగణితం (జ్యామెట్రీ) అధ్యయనంలో
మొదటి విషయం – బిందువు (పాయింట్)
రెండవ విషయం – రేఖ (లైన్)
మూడవ విషయం – కోణం (యాంగిల్)
నాలుగవ విషయం – త్రికోణం (ట్రయాంగిల్) : వీటిగురించి అధ్యయనం చేసేదే ‘త్రికోణమితి’ – అసలు కథ ఇక్కడే మొదలవుతుంది. ఎందుకంటే నడిసముద్రంలో నావమార్గాన్ని నిర్ధారించుకోవడానికీ, బ్రహ్మాండమైన భవనాలను నిర్మించడానికీ, బ్రహ్మాండఖగోళాన్ని అధ్యనం చేయడానికీ, పరమాణువుల లోపలి అమరిక అర్థం చేసుకోవడానికీ ఇదే విద్యార్థుల తొలి మజిలీ. మొదటి మూడు విషయాలనూ మూడు అధ్యాయాలలో ముగించే లెక్కల పుస్తకాలు నాలుగవ విషయానికి (త్రికోణమితికి) వచ్చేసరికి ప్రాథమిక దశలో కూడా ఒకటి రెండు పూర్తి పుస్తకాలను కేటాయించక తప్పదు.
త్రికోణమితి- అంటే త్రికోణంలో ఆరు భాగాలను (మూడు భుజాలు, మూడు కోణాలు) గురించి – వివరిస్తుంది. కాని అది అంత చిన్న విషయమేమీ కాదు. ఇందులో ఎన్నో సిద్ధాంతాలు, ఋజువులు, సంబంధాలు. [[పైథాగరస్ సిద్ధాంతం, జ్యా (సైన్), త్రిజ్యా (కోసైన్) – ఇలా పెరుగుతూ పోతుంది.
త్రికోణమితిలో రెండు ప్రధాన విభాగాలున్నాయి
సమతల త్రికోణమితి (ప్లేన్ ట్రిగొనోమెట్రీ) – ఒక సమతలంలో ఉండే త్రికోణంలో భుజాలకూ, కోణాలకూ మధ్య సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసేది.
గోళ త్రికోణమితి (స్ఫెరికల్ ట్రిగొనోమెట్రీ) – ఒక గోళంపై ఉండే త్రికోణంలో భుజాలకూ, కోణాలకూ మధ్య సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసేది.
సర్వ సమీకరణాలు
ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ చలరాశులున్న సమీకరణంలో చలరాశులు తీసుకోగల అన్ని విలువలకూ ఆ సమీకరణం తృప్తిచెందుతున్నట్లయితే దానిని సర్వ సమీకరణం అంటారు.
కలన గణితము (Calculus)
కలన గణితం (లాటిన్ calculus, అక్షరాలా ‘చిన్న గులకరాయి’, అబాకస్ మీద గణన, లెక్కల కోసం ఉపయోగించబడేది) అనేది నిరంతర మార్పు యొక్క ఒక గణిత అధ్యయనం. ఎలాగైతే రేఖాగణితము ఆకారం యొక్క అధ్యయనమూ, బీజగణితం అంకగణిత కార్యకలాపాల సాధారణీకరణ అధ్యయనమో, అలా. అందులో రెండు ముఖ్య శాఖలు గలవు, భేదాత్మక లేక విదిశా కలన గణితము (వక్రాల యొక్క వాలు, మార్పుల యొక్క వెగానికి సంబంధించినది), సమగ్రాత్మక లేక సదిశా కలన గణితము (పరిమాణాల యొక్క పోగు, వక్రాల మధ్య/కింద వైశాల్యములకి సంబంధించినది). ఈ రెండు శాఖలు ఒకదానికి ఒకటి కలన గణిత ప్రాథమిక సిద్ధంతముతో[ఫండమెంటల్ థియరం ఆఫ్ కాల్కులస్] సంబంధితమై ఉన్నాయి. ఈ రెండు శాఖలూ కుడా అనంత సన్నివేశాల కలయిక[కన్వర్జన్స్ ఆఫ్ ఇంఫైనైట్ సీక్వెంసెస్] మరియ అనంత శ్రేణుల బాగా నిర్వచించబడిన పరిమితుల[ఇంఫైనైట్ సిరీస్ టు ఏ వెల్ల్-డిఫైనడ్ లిమిట్] మూలాలని వాడుకుంటాయి. సాధారణముగా, 17వ శతాబ్దిలో ఐజాక్ న్యూటన్, గొట్ట్ఫ్రేడ్ విల్హెమ్ లైబ్నిజ్ ఆధునిక కలన గణితాన్ని అభివౄద్ధి చేసారు అని భావిస్తారు. ఇటీవల, కలన గణితముకి విజ్ఞానము, ఇంజనీరింగు, ఆర్థికశాస్త్రములోన విస్తృత ఉపయోగాలు ఉన్నాయి.
ఆధునిక గణిత విద్యలో కలన గణితం ఒక విభాగము. కలన గణితములోని ఒక పాఠ్యాంశము ధర్మములు, పరిమితుల యొక్క అధ్యాయనానికి అంకితము చేసిన గణిత శాస్త్ర గణిత విశ్లేషణ[మ్యతమ్యాటికల్ ఎనాలసిస్] లాంటి ఇతర ఉన్నతస్థాయి పాఠ్యాంశాలకి ఒక ప్రవేశ ద్వారము. చారిత్రికముగా కలన గణితముని “అతిసుక్షమైన వాటి కలన గణితము”[కాల్కులస్ ఆఫ్ ఇన్ఫినిటెసిమల్స్] అని అంటూ ఉండేవారు. కాల్కులస్[కలన గణితము] అనే పదాన్ని వేరే నిర్దిష్ట గణన పద్ధతుల నామకరణానికి వాడుతారు, ఉపపాదన కలన గణితం[ప్రపోసిషనల్ కాల్కులస్], రిచ్చి కలన గణితం[రిచ్చి కాల్కులస్], కలన గణిత వైవిధ్యాలు[కాల్కులస్ ఆఫ్ వేరియెషస్న్], లాంబ్డా కలన గణితం[లాంబ్డా కాల్కులస్], ప్రక్రియ కలన గణితం[ప్రాసెస్స్ కాల్కులస్].
సాంఖ్యక శాస్త్రము (Statistics)
ఇది ఒక గణిత విశ్లేషణ యొక్క ఒక రూపం, ఇది ప్రయోగాత్మక డేటా లేదా నిజ జీవిత అధ్యయనాల సమితి కోసం పరిమాణాత్మక నమూనాలు, ప్రాతినిధ్యాలు మరియు సంకలీనలను ఉపయోగిస్తుంది. గణాంకాల ను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా డేటా నుంచి నిర్ధారణలను సేకరించడానికి, సమీక్షించడానికి, విశ్లేషించడానికి మరియు ముగింపులను పొందడానికి మెథడాలజీలను అధ్యయనం చేస్తుంది.
ప్రోబబిలిటీ, విలువ మధ్య గ్రాఫ్ ప్లాట్. ఇందులో స్టాండర్డ్ డీవియేషన్, టి-స్కోర్, జెడ్-స్కోర్, క్యుములేటివ్ పర్సెంటేజ్, పర్సంటైల్ ఈక్వివాలెంట్స్ మొదలగునవి చూడవచ్చు.
సాంఖ్యక శాస్త్రం అనేది డేటాసేకరణ, సమీక్ష, నిర్ధారణ, అర్ధమయేలా ప్రదర్శించడం, సమీకరించడం. వైజ్ఞానిక, పారిశ్రామిక మరియు సామాజిక సమస్యలను పరిష్కరించేందుకు సాంఖ్యక శాస్త్రం ఎంతో ఉపయోగపడుతుంది. అందుబాటులో ఉన్న గణాంకాలను అనుసరించి, తీసుకోవాల్సిన జాగ్రత్తలు, నిర్ణయాలు, మరియు ఇతర అంశాలను సాధిస్తుంది. సాంఖ్యక శాస్త్రం గణాంకాల మీద, ఆ గణాంకాలను సమీక్షించే సాంఖ్యక శాస్త్ర పరికరాల మీద ఆధార పడి ఉంటుంది. ఈ గణాంకాలను సర్వేల ద్వారా, ఇప్పటికే ఇతర అవసరాల కోసం సేకరించబడిన డేటా, పరిశోధనాత్మకంగా అంచనా వేయబడిన డేటా ద్వారా సేకరించవచ్చు. పరిశోధనలు, సర్వేలు ఎలా జరగాలి అన్న విషయాన్ని కూడా సాంఖ్యక శాస్త్రం నిర్దేశిస్తుంది.
సహజ సంఖ్యా సమితి Natural numbers అనగా {1, 2, 3, …..} దీనిని ‘N’ తో సూచిస్తారు.
పూర్ణాంకాళ సమితి whole numbers అనగా {0, 1, 2, 3, …..} దీనిని ‘W’ తో సూచిస్తారు.
పూర్ణ సంఖ్యల సమితి integers అనగా {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …..} దీనిని ‘z’ తో సూచిస్తారు.
ధన పూర్ణ సంఖ్యల సమితి positive integers అనగా {+1, +2, +3, …..} దీనిని ‘+Z’ తో సూచిస్తారు.
ఋణ పూర్ణ సంఖ్యల సమితి Nagative integers అనగా {-1, -2, -3, …..} దీనిని ‘-Z’ తో సూచిస్తారు.
అకరణీయ సంఖ్యల సమితి Rational Numbers
కరణీయ సంఖ్యల సమితి Irrational Numbers
సంభావ్యత (Probability)
సంభావ్యత సిద్ధాంతం సంభావ్యతకు సంబంధించిన గణితశాస్త్రం. అనేక విభిన్న సంభావ్యత వ్యాఖ్యానాలు ఉన్నప్పటికీ, సంభావ్యత సిద్ధాంతం ఈ భావనను కఠినమైన గణిత పద్ధతిలో పరిగణిస్తుంది. సాధారణంగా ఈ సిద్ధాంతాలు సంభావ్యత స్థలం పరంగా సంభావ్యతను లాంఛనప్రాయంగా చేస్తాయి, ఇది 0 మరియు 1 మధ్య విలువలను తీసుకునే కొలతను, సంభావ్యత కొలత అని పిలుస్తారు, నమూనా స్థలం అని పిలువబడే ఫలితాల సమితికి కేటాయిస్తుంది. ఈ ఫలితాల యొక్క ఏదైనా పేర్కొన్న ఉపసమితిని ఈవెంట్ అంటారు. సంభావ్యత సిద్ధాంతంలోని కేంద్ర విషయాలలో వివిక్త మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్, సంభావ్యత పంపిణీలు మరియు యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియలు ఉన్నాయి, ఇవి నిర్ణయాత్మక లేదా అనిశ్చిత ప్రక్రియల యొక్క గణిత సంగ్రహణలను అందిస్తాయి లేదా కొలవబడిన పరిమాణాలు ఒకే సంఘటనలు కావచ్చు లేదా కాలక్రమేణా యాదృచ్ఛిక పద్ధతిలో అభివృద్ధి చెందుతాయి. యాదృచ్ఛిక సంఘటనలను ఖచ్చితంగా to హించడం సాధ్యం కానప్పటికీ, వారి ప్రవర్తన గురించి చాలా చెప్పవచ్చు. అటువంటి ప్రవర్తనను వివరించే సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో రెండు ప్రధాన ఫలితాలు పెద్ద సంఖ్యల చట్టం మరియు కేంద్ర పరిమితి సిద్ధాంతం. గణాంకాలకు గణిత పునాదిగా, డేటా యొక్క పరిమాణాత్మక విశ్లేషణతో కూడిన అనేక మానవ కార్యకలాపాలకు సంభావ్యత సిద్ధాంతం అవసరం. సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క పద్ధతులు గణాంక మెకానిక్స్ మాదిరిగా వారి రాష్ట్రానికి పాక్షిక జ్ఞానం మాత్రమే ఇచ్చిన సంక్లిష్ట వ్యవస్థల వర్ణనలకు కూడా వర్తిస్తాయి. ఇరవయ్యవ శతాబ్దపు భౌతికశాస్త్రం యొక్క గొప్ప ఆవిష్కరణ క్వాంటం మెకానిక్స్లో వివరించబడిన పరమాణు ప్రమాణాల వద్ద భౌతిక దృగ్విషయం యొక్క సంభావ్యత.
ప్రమాదవశాత్తు సంభవించే సంభావ్యతను గణితశాస్త్రంలో నిర్వహించే గణిత ఉపవిభాగం మరియు దాని అనువర్తనాన్ని పరిగణలోకి తీసుకుంటుంది. 17 వ శతాబ్దంలో, ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రవేత్తలు బి. పాస్కల్, పి. ఫెర్మాట్ మరియు డచ్ డచ్ సి. హ్యూజెన్స్ ఆటకు అవసరమైన సంభావ్యతను లెక్కించారు మరియు సగటు విలువ అనే భావనను ప్రవేశపెట్టారు. ఇది మొదట నిర్వహించేది. 18 వ శతాబ్దంలో, స్విస్ గణిత శాస్త్రవేత్త జాకబ్ బెర్నౌల్లి (1654-1705) స్వతంత్ర విచారణను అనేకసార్లు పునరావృతం చేసినప్పుడు పెద్ద సంఖ్యలో ఉన్న చట్టాన్ని గుర్తించారు (దీనిని బెర్నౌల్లి ట్రయల్ అని పిలుస్తారు). ట్రయల్స్ సంఖ్య పెరిగినందున ఫ్రీక్వెన్సీ నిజమైన సంభావ్యతను చేరుకున్నట్లు ఇది చూపించింది. గణిత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక కంటెంట్ ఫ్రాన్స్‌లోని పి. లాప్లేస్ మరియు జర్మనీలోని సిఎఫ్ గాస్ చేత గొప్ప అనువర్తనాలను కనుగొనటానికి ఏర్పడిన సమయం తరువాత వచ్చింది. లాప్లేస్ 1812 లో అనలిటికల్ థియరీ ఆఫ్ ప్రాబబిలిటీని వ్రాసాడు మరియు సంభావ్యత పంపిణీ గురించి చర్చించాడు మరియు సిద్ధాంతాన్ని విశ్లేషణాత్మకంగా పరిమితం చేశాడు. సర్వేయింగ్ మరియు ఖగోళ పరిశీలనలలో, కొలత లోపాలను ప్రాసెస్ చేయడానికి మరియు నిజమైన విలువను ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవడానికి గాస్ తక్కువ-చతురస్రాల పద్ధతిని స్థాపించాడు మరియు అభివృద్ధి చేశాడు, అయితే ఇవి 18 వ శతాబ్దం చివరి నుండి 19 వ శతాబ్దం వరకు ఉన్నాయి. 19 వ శతాబ్దం వరకు సంభావ్యత సిద్ధాంతాన్ని క్లాసికల్ ప్రాబబిలిటీ థియరీ అని పిలుస్తారు, మరియు ప్రతి ఒక్కటి ఆసక్తికరమైన మరియు ప్రత్యేకమైన సిద్ధాంతాన్ని సృష్టించాయని చెప్పవచ్చు.
ఈ శతాబ్దంలో, సెట్ థియరీ వంటి ఆధునిక గణితాలను ఉపయోగించడం ద్వారా, కఠినమైన తర్కంపై పునాది స్థాపించబడింది మరియు నిర్వహించగల విషయాలు గొప్పగా సమృద్ధిగా ఉన్నాయి. 1933 లో, సోవియట్ యూనియన్ AN కొల్మోగోరోవ్ సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రారంభ బిందువు అయిన సంభావ్యత స్థలం అనే భావనను తన “బేసిక్ కాన్సెప్ట్స్ ఆఫ్ ప్రాబబిలిటీ థియరీ” లో ప్రవేశపెట్టారు, ఇది ఆధునిక సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క తరానికి ఎంతో దోహదపడింది. స్థలం Ω ను కలిగి ఉంటుంది , ఇది మూల సంఘటనల సమాహారం family, కుటుంబం B, ఇది సంఘటనల ఉపసమితి, ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యత P ( A ) మరియు A ∈B. మరియు అనిర్దిష్ట చరరాశి ఒక B-కొలమాన ఫంక్షన్ X (ω) పైగా Ω, అని, దీని సంభావ్యత X యొక్క నిర్దిష్ట విలువను నున్నాయి (ω సెట్ లో) ఒక ఫంక్షన్. ఈ ప్రాతిపదికన, సంభావ్యత సిద్ధాంతం పరిమితి సిద్ధాంతం, యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియ సిద్ధాంతం మరియు గణిత గణాంకాలకు అనువర్తనం వంటి గణిత శాస్త్ర రంగంగా స్థాపించబడింది.
ఒకే పంపిణీని అనుసరించే స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తాన్ని మీరు సాధారణీకరించినట్లయితే (తగిన సంఖ్యను తీసివేయడం లేదా విభజించడం ద్వారా సగటు 0 మరియు వ్యత్యాసం 1), వేరియబుల్స్ సంఖ్య పెద్దగా ఉన్నప్పుడు పంపిణీ ప్రామాణిక సాధారణం. కేంద్ర పరిమితి సిద్ధాంతం మరియు పంపిణీకి దగ్గరగా ఉన్న దాని సంబంధిత పరిమితి సిద్ధాంతాన్ని సోవియట్ హిన్చిన్ AYKhintchin (1894-1959) తో సహా పలువురు పండితులు అధ్యయనం చేశారు. కాలంతో మారుతున్న ప్రమాదవశాత్తు దృగ్విషయాన్ని నిర్వహించే యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియలపై పరిశోధన ఆధునిక సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అతి ముఖ్యమైన విషయం. 1905 లో ఎ. ఐన్‌స్టీన్ గణిత సిద్ధాంతాన్ని ఇచ్చిన బ్రౌనియన్ ఉద్యమం తరువాత ఒక సాధారణ గాస్సియన్ యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియగా గుర్తించబడింది మరియు ఫ్రెంచ్ పి. లెవితో సహా చాలా మంది దీనిని అధ్యయనం చేశారు. మరింత సాధారణ యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియ సిద్ధాంతం యొక్క దిశ ఒక మార్కోవ్ ప్రక్రియ, దీనిలో మనకు ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో సమాచారం తెలిస్తే గతం మరియు భవిష్యత్తు స్వతంత్రంగా మారతాయి, ముఖ్యంగా విస్తరణ ప్రక్రియ యొక్క అధ్యయనం. అది. అనేక పరిశోధన సమస్యలు ఇప్పటికీ బహుళ కోణాలకు పరివర్తనలో ఉన్నాయి. N. వీనర్ స్థిరమైన ప్రక్రియలు మరియు సమయ శ్రేణుల దిశలో ఎంతో దోహదం చేస్తుంది. ఈ అధ్యయనాలు గణితంలోని ఇతర రంగాలతో దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉండటమే కాకుండా, యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియలు హెచ్చుతగ్గులు మరియు శబ్దాలను మోడల్ చేయగలవు కాబట్టి, భౌతిక శాస్త్రం, జీవశాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్ మొదలైన వాటితో లోతైన పరస్పర చర్య ఉంటుంది.